Мультиколлинеарность

Содержание

1. Предположим, что вы оцениваете линейную функцию потребления ct = a + by_t + e_t n индивидуумов. Как учесть возможный сдвиг этой функции при переходе от городского к сельскому потребителю, если вы считаете, что маргинальная склонность к потреблению постоянна, в то время как средняя склонность к потреблению может меняться? Как проверить гипотезу о том, что маргинальные склонности к потреблению индивидуумов с доходом выше и ниже уровня y* отличаются?
2. Рассмотрим регрессию
yt = b1 + b2dt + et,	 t=1,…,n,
где d – некоторая фиктивная переменная. Пусть   – среднее значение переменной y по n0 наблюдениям, для которых d=0 и   – среднее значение по n1 наблюдениям, для которых d=1 (n0+n1=n). Найдите V(b1), V(b2), V(b3).
3. Рассмотрим регрессионную модель 
yt = b1x1+b2x2+et,	 t=1,…,n,
в которой переменные представлены в виде отклонений от выборочных средних (т.е. y=0, x1=0,x2=0).
а) Покажите, что дисперсии и ковариации оценок наименьших квадратов b1 и b2 равны:
где 
– выборочный коэффициент корреляции между x1 и x2.
б) Чему равны дисперсии и ковариации в случае r12=0? Как это связано с проблемой мультиколлинеарности?
в) Постройте график отношения V(b1) к значению V(b1), полученному в б), в диапазоне 0<r12<1. Как этот график связан с проблемой мультиколлинеарности?
г) Что происходит с 95% доверительным интервалом для b1, b2 и ковариацией cov(b1,b2)при возрастании r12 в диапазоне 0<r12<1?
4. В таблице представлены квартальные данные об объемах продаж и доходах текстильных корпораций США с первого квартала 1994г. по третий квартал 1999г. Введите сезонные фиктивные переменные и с помощью регрессии дохода на объем продаж исследуйте наличие или отсутствие сезонных колебаний.
5. Дана стандартная модель множественной регрессии y=Xb + e.
а) Выразите матрицу ковариаций МНК-оценки вектора b в терминах собственных значений и собственных векторов матрицы X’X.
б) Объясните, как соотносится результат а) с проблемой мультиколлинеарности.
6. b*– оценка, полученная для обобщенной регрессионной модели. Найдите V(b*)– ковариационную матрицу.
7. Докажите, что если в обобщенной регрессионной модели y = Xb+e вектор e ошибок имеет многомерное нормальное распределение, то bОМНК = bМП.
8. Рассмотрим уравнение регрессии:
y_t=b + e_t,	 t=1,…,n.
Пусть ошибки регрессии удовлетворяют следующим условиям:
E(e_t)=0; cov(e_r,e_s) = 0, t<>s; V(e_t) = s^2x_t, x_t>0.
а) Найдите оценку метода наименьших квадратов b и ее дисперсию.
б) Предложите несмещенную оценку, обладающую меньшей дисперсией, чем оценка метода наименьших квадратов. Получите дисперсию этой оценки и сравните ее с дисперсией оценки метода наименьших квадратов. Интерпретируйте результат.
9. Проверьте, что для парной регрессии с гетероскедастичностью дисперсия оценки параметра b, полученная с помощью метода взвешенных наименьших квадратов, меньше дисперсии МНК-оценки.
10. Процесс, порождающий данные, описывается уравнением
y_t=bx_t+e_t,
E(e_t)=0; E(e^2) = const; E(e_r,e_s) = 0, t<>s , x_t>0.
t=1,…,n.
Экспериментатор не имеет доступа к исходным данным, а может использовать лишь «групповые» данные. А именно, значения независимой переменной упорядочиваются по величине (x1 < x2 < … <xn), вычисляются средние значения в первой группе из n1 наблюдений 
во второй группе из n2 наблюдений,	 
и т.д. Всего есть J групп наблюдений, j-я группа имеет объем nj. Параметр b оценивается с помощью регрессии y_j на  , j=1,…,J. Вычислите среднее значение и дисперсию оценки. Оцените потерю эффективности в результате такой группировки данных.