Задача 1.Рассматривается задача математического программирования
0) Можно ли понизить размерность этой задачи? Если да, сделайте это и проведите обоснование.
1) Проверьте выполнение условий теоремы Вейерштрасса, сделайте вывод о существо-вании глобального минимума.
2) Проверьте, является ли задача задачей выпуклого программирования.
3) Проверьте выполнение условия Слейтера, поясните, зачем это нужно.
4) Найдите решение x* графическим методом.
5) Выпишите условия Куна-Таккера в дифференциальной форме в общем виде.
6) Проверьте выполнение этих условий в найденной в п. 4 точке x* , сделайте соответст-вующие выводы.
Задача 2. Дана функция .
1) Исследуйте функцию на экстремумы. Найдите точку минимума аналитически. Не за-будьте доказать, что это именно минимум.
2) Если начальная точка имеет координаты (8;5), то сколько шагов потребуется сделать градиентным методом с наилучшим фиксированным шагом, чтобы расстояние от те-кущего приближения до точного решения было не больше 0,0001? В ответе можно «оставить логарифм без вычисления»
Задача 3. Шесть конкурсных проектов оценивались по четырем критериям (каждый кри-терий желательно максимизировать). Результаты представлены в таблице ниже.
а) Найдите все проекты, чьи оценки оптимальны по Парето.
б) Найдите все проекты, чьи оценки оптимальны по Слейтеру.
в) Какой проект следует выбрать, если коэффициенты важности критериев считать оди-наковыми?
Таблица оценки проектов по четырем критериям
г) Найдите идеальную точку и выберите проект по методу целевого программирования.
Используйте для расчетов «расстояний» до идеальной точки табличку ниже:
Теоретические вопросы.
- Докажите что строго выпуклая функция на выпуклом множестве может иметь не более одной точки минимума. Указание – используйте определение строго выпуклой функции и его геометрическую интерпретацию.
- Дайте определение оптимального по Парето решения задачи многокритериальной оп-тимизации <X, f1(x),…,fN(x)>.