Дана математическая запись модели:
-x₁ - 5x₂ + 3х₃ = 4;
2x₁ + 5x₂ - 3х₃ ≥2;
2х₁ + 4х₂ ≤ -4;
F(x)= -5x₁ + х₂ - 2х₃ → max.

Шаг №0. Сведем задачу ЛП к нахождению минимума.
-x₁ - 5x₂ + 3х₃ = 4;
2x₁ + 5x₂ - 3х₃ ≥2;
2х₁ + 4х₂ ≤ -4;
-F(x)= 5x₁ - х₂ + 2х₃ → min.
Если сразу задана функция минимизации (min), то Шаг №0 пропускаем.

Приводим из системы неравенств в систему уравнений, вводя дополнительные переменные:
-x₁ - 5x₂ + 3х₃ = 4;
2x₁ + 5x₂ - 3х₃ - х₄ = 2;
2х₁ + 4х₂ + х₅= -4;
-F(x)= 5x₁ - х₂ + 2х₃ → min.

В матричной форме:
Матрица А

-1	-5	3	0	0
2	5	-3	-1	0
2	4	0	0	1

Матрица В

4

2

-4

или B^T = (4 ;2; -4);

Тогда задачу ЛП можно записать следующим образом:

A x X = B
X ≥ 0
F(x) = Z = C x X → min Базисные переменные: x₁, x₂, x₃
Небазисные переменные: x₄, x₅
Преобразуем матрицу А, выделяя единичную матрицу I

-1/3	-5/3	1	0	0
-1	0	0	1	0
2	4	0	0	1

Шаг №1.
В начале первого цикла нам известны обратная матрица A^-1 (единичная матрица), базисное решение x_b = A^-1 x b

1	0	0
0	1	0
0	0	1

x_b = (4; 2; -4);

Шаг №2. Образуем для каждой небазисной переменной характеристическую разность d_j, используя уравнение:

d_j = c_j - s_j x P_j, где s - двойственные переменные, которые можно найти следующим образом: s_j = c_x x A^-1, где c_x - вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных.
c_x = (-5; 1; -2);
s_j = c_x x A^-1 = (-5; 1; -2);
d_j = (-5; 1; -2) - (-5; 1; -2) = (0; 0; 0)

Шаг №3. Предполагая, что используется стандартное правило выбора вводимого столбца, находим: s = min d_j.
s = -5, индекс столбца p = 1

Шаг №4. Если s ≥ 0 - процедура останавливается. Текущее базисное решение является оптимальным.

Шаг №5. Если s ≤ 0, вычисляем преобразованный столбец:

P^-_p = A_-1 x P_p P^-₁ = (-1/3; -1; 2)
P^-_p = (a_1s,a_2s,...,a_ms)
Если все a_is ≤ 0 - процедура останавливается: оптимум неограничен.

Шаг №6. В противном случае находим выводимую из базиса переменную:

x_br / a_rs = min (a_is ≥ 0) = θ

Шаг №7. Строим матрицу и трансформируем ее с ведущим элементом a_rs

Автоматизировать процесс решения можно с помощью сервиса Симплексный метод решения задач линейного программирования online

Решим прямую задачу линейного программирования модифицированным симплексным методом.
Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 9x₁+5x₂-4x₃ при следующих условиях-ограничений.
2x₁+2x₂-2x₃≥2
4x₁+7x₂-9x₃=6
2x₂+5x₃≤5

Дана математическая запись модели:
-2x₁ + 6x₂ + 7х₃ ≥ 3;
5x₁ + 3x₂ - 4х₃ ≤ -3;
3х₁ + 2х₃ ≤ 2;
F(x)= -5x₁ + 5х₂ - 7х₃ → min.