Задача составления кормовой смеси или задача о диете

1. Задача о составлении рациона (задача о диете)
2. Задача о смесях (смешивания этих ингредиентов в пропорциях)
3. Задача об оптимальном составе бетонной смеси

• не менее 0.8% кальция (от общего веса смеси)
• не менее 22% белка  (от общего веса смеси)
• не более 5% клетчатки (от общего веса смеси )

Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят: 20 000 х 0.5 = 10 000 кг.
Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:
0.38X₁ + 0.001Х₂ + 0.002Х₃ ≥ 0.008 х 10 000,
0.09Х₂ + 0.50Х₃ ≥ 0.22 х 10 000,
0.02Х₂+ 0.08Х₃ ≤ 0.05 х 10 000.
Окончательный вид математической формулировки задачи:
min f(X) = 0.04 x₁ + 0.15Х₂ +0,40Х₃
при ограничениях
Х₁+Х₂+Х₃= 10 000
0.38Х₁ + 0.001Х₂ + 0.002Х₃ ≥ 80
0.09Х₂+ 0.50Х₃ ≥ 2200
0.02Х₂+ 0.08Х₃ ≤ 500
X_j > 0,  j = 1, 2, 3.

Перейти к решению симплекс-методом

Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях)

Таблица 2

F = 3x₁ + 4x₂. (5)
С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x₁ + 2x₂) единиц питательного вещества S₁, (3x₁ + 2x₂) единиц питательного вещества S₂, (2x₁ + x₂) единиц питательного вещества S₃ и (2x₁ + 2x₂) единиц питательного вещества S₄. Так как содержание питательных веществ S₁, S₂, S₃, S₄ в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:
x₁+2x₂ ≥ 10 (6)
3x₁+2x₂ ≥ 8
2x₁+x₂ ≥ 9
2x₁+2x₂ ≥ 11
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0
Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион X=(x₁, x₂), удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.
Сформулируем данную задачу в общей постановке.
Обозначим через x_j (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее b_i (i = 1,2,…,m) единиц, a_ij – число единиц питательного вещества s_i в единице продукта j-го вида. Известна стоимость c_j единицы j-го продукта. Необходимо составить рацион нужной питательности при минимальных затратах на него.
Экономико-математическая модель примет вид:

F=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n→(min) (7)

(8)
Замечание 1. Целевую функцию (7) и систему ограничений неравенств можно записать, используя знак ∑ (суммы).

(9)

(10)
Замечание 2. В задаче составления рациона (диеты, кормовой смеси) могут использоваться ограничения не только по необходимому минимуму питательных веществ, но и по минимальному общему весу смеси.
Например. Некоторая фирма имеет возможность купить n различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных веществ. Установлено, что продукция должна удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Необходимо определить количество каждого j-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательность.
Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

,
при ограничениях: на общий расход смеси
на питательность смеси

на не отрицательность переменных

x_j≥0, j=1,2,…n,
где x_j – количество j-го сырья в смеси;
n – количество видов сырья;
m – количество питательных веществ;
a_ij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го вида сырья;
b₁ – минимальное количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице смеси;
c_j – стоимость единицы сырья j;
q – минимальный общий вид смеси.

Пример №3. В заводской лаборатории создается антифрикционный сплав (оловянистый баббит), который должен содержать: олова - не меньше 15%, сурьмы - не меньше 15%, свинца - около 70%. Есть четыре сплава, процентный состав и цены на которые приведенные в таблице:

Рассчитать количество элементов для сплава каждого вида, необходимое для 1 кг смеси, которая бы обеспечила минимальные затраты.

Решение
Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим через
x₁ – количество сплава 1, кг
x₂ – количество сплава 2, кг
x₃ – количество сплава 3, кг
x₄ – количество сплава 4, кг

Система ограничений по содержанию
12x₁ + 20x₂ + 12x₃ + 20x₄ ≥ 15(x₁ + x₂ + x₃ + x₄)
12x₁ + 18x₂ + 18x₃ + 14x₄ ≥ 15(x₁ + x₂ + x₃ + x₄)
76x₁ + 62x₂ + 70x₃ + 66x₄ = 70(x₁ + x₂ + x₃ + x₄)

Ограничение по количеству
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1 (кг)

Целевая функция
3,5x₁ + 5,2x₂ + 4x₃ + 4,6x₄  → min

Ответ: x₁ = 0,25; x₂ = 0; x₃ = 0,375; x₄ = 0,375 (решение можно получить через калькулятор или средствами Excel).

Пример №4. Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен в сутки потреблять не менее 63 усл.ед. белков, не менее 147 усл.ед. жиров и не менее 126 усл.ед. углеводов. Для простоты допустим, что имеется всего два вида продуктов и ; стоимость единицы каждого из них равна соответственно 12 и 9 ден.ед. Содержание названных питательных веществ в различных продуктах неодинаково. Предположим, что в единице продукта содержится 9 усл.ед. белков, 7 усл.ед. жиров 9 усл.ед. углеводов; а в единице продукта содержится соответственно 3, 21, 10 усл.ед. тех же питательных веществ. Требуется:

1. составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую сформировать из продуктов и суточную диету, которая с одной стороны содержала бы белков, жиров и углеводов не менее минимально научно обоснованных норм и вместе с тем требовала бы минимальных затрат;
2. решить задачу графическим способом.

x₁ - продукт 1, x₂ - продукт 2,
Целевая функция: 12x₁+9x₂ → min
Система ограничений:
9x₁+3x₂ ≥ 63
7x₁+21x₂ ≥ 147
9x₁+10x₂ ≥ 126

Задача о смесях

Σg_1i = g₁₁ + g₁₂ + g₁₃ + g₁₄

Целевая функция
F(x) = s₁x₁ + s₂x₂ + s₃x₃ + s₄x₄ → max

Ограничения
x₁g₁₁/Σg_1i + x₂g₂₁/Σg_2i + x₃g₃₁/Σg_3i + x₄g₄₁/Σg_4i ≤ y₁
x₁g₁₂/Σg_1i + x₂g₂₂/Σg_2i + x₃g₃₂/Σg_3i + x₄g₄₂/Σg_4i ≤ y₂
x₁g₁₃/Σg_1i + x₂g₂₃/Σg_2i + x₃g₃₃/Σg_3i + x₄g₄₃/Σg_4i ≤ y₃
x₁g₁₄/Σg_1i + x₂g₂₄/Σg_2i + x₃g₃₄/Σg_3i + x₄g₄₄/Σg_4i ≤ y₄

Назначение сервиса. С помощью данного сервиса можно в онлайн режиме составить математическую модель задачи о смесях и решить ее симплекс-методом или средствами MS Excel.

• Ввод данных
• Решение
• Видеоинструкция

Пример. Завод выпускает 4 вида полуфабрикатов Bi в количествах: В1 – 400 т, В2 – 250 т, В3 – 350 т и В4 – 100 т.
В результате смешения этих компонентов получают 3 вида продукции Aj. Пропорции смешиваемых полуфабрикатов следующие: для А1 – 2:3:5:2, для А2 – 3:1:2:1, для A3 – 2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции Aj составляет: А1 – 12 руб., А2 – 10 руб., А3 – 15 руб.
Составить оптимальный план выпуска продукции по критерию:
а) максимальной стоимости выпущенной продукции;
б) максимального использования полуфабрикатов

Задача об оптимальном составе бетонной смеси