Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (aij), вектор-столбец валовой продукции X = (Xi) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Yi), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:
X = AX +Y
Идея сбалансированности лежит в основе всякого рационального функционирования хозяйства. Суть ее в том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод – взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них.
Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.
Пусть экономика страны имеет n отраслей материального производства. Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая часть – идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).
Обозначим через Xi (i=1..n) валовый продукт i-й отрасли; xij – стоимость продукта, произведенного в i-й отрасли и потребленного в j-й отрасли для изготовления продукции стоимостью Xj; Yi – конечный продукт i-й отрасли.
Критерии продуктивности матрицы А
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.
1. Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.
2. Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:
3. Определитель матрицы (E - A) не равен нулю, т.е. матрица (E- A) имеет обратную матрицу (E - A)-1.
4. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение уравнения |λE - A| = 0 строго меньше единицы.
5. Все главные миноры матрицы (E - A) порядка от 1 до n, положительны.

Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑aij ≤ 1.
I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближенно, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
а) Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна:

б) Матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

Матрица коэффициентов полных затрат приближенно равна:

II. Определим матрицу коэффициентов полных затрат точно с помощью формул обращения невырожденных матриц.
Коэффициент полных затрат (bij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.
а) Находим матрицу (E-A):

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)-1:
Запишем матрицу в виде:

Главный определитель
∆ = 0.8 • (0.7 • 0.6-(-0.2 • (-0.2)))-(-0.5 • (-0.2 • 0.6-(-0.2 • (-0.1))))+(-0.2 • (-0.2 • (-0.2)-0.7 • (-0.1))) = 0.212
Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения.

∆1,1 = (0.7 • 0.6-(-0.2 • (-0.2))) = 0.38

∆1,2 = -(-0.2 • 0.6-(-0.1 • (-0.2))) = 0.14

∆1,3 = (-0.2 • (-0.2)-(-0.1 • 0.7)) = 0.11

∆2,1 = -(-0.5 • 0.6-(-0.2 • (-0.2))) = 0.34

∆2,2 = (0.8 • 0.6-(-0.1 • (-0.2))) = 0.46

∆2,3 = -(0.8 • (-0.2)-(-0.1 • (-0.5))) = 0.21

∆3,1 = (-0.5 • (-0.2)-0.7 • (-0.2)) = 0.24

∆3,2 = -(0.8 • (-0.2)-(-0.2 • (-0.2))) = 0.2

∆3,3 = (0.8 • 0.7-(-0.2 • (-0.5))) = 0.46
Обратная матрица

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой xij = aij • Xj.
Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находятся как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.
Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (табл.). Первый квадрант отражает межотраслевые потоки продукции. Второй характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.
Третий представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции (Zj), равной сумме амортизации (cj), оплаты труда (vj) и чистого дохода j-й отрасли (mj). Четвертый квадрант показывает конечное распределение и использование национального дохода.

Производящие отрасли
 	Потребляющие отрасли
 
 	Конечный продукт
 	Валовый продукт
 	
	1	2	3			
1	21.04	21.98	12.17	50	105.19	
2	52.59	32.97	24.34	0	109.91	
3	21.04	21.98	48.68	30	121.7	
Чистый доход	10.52	32.97	36.51	80	 	
Валовый продукт	105.19	109.91	121.7	 	336.79	

Применение межотраслевого баланса для анализа экономического показателя труда.
Различные модификации рассмотренной выше модели межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве позволяют расширить круг показателей, охватываемых моделью.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Межотраслевой баланс онлайн
Источник:
Межотраслевой баланс