Задача двухфакторной оптимизации и Парето-оптимальное множество

Содержание

Задание 1.  Дана задача линейного программирования. Сформулировать двойственную задачу. Решить обе задачи.
3x1 + x2 >= 2
x1 + 2x2 >= 3
x1 + x2 >= 4
x1>= 0, x2>=0
F = x1 + 4x2 => min

Задание 2.  Добавив к условиям своего задания 1 вторую целевую функцию из соседней колонки, решить задачу двухфакторной оптимизации, т.е. найти Парето-оптимальное множество. 
(Пример. Вариант 1 превращается в следующую задачу:
3x1 + x2 >= 2
x1 + 2x2 >= 3
x1 + x2 >= 4
x1 >= 0, x2 >= 0
F = x1 + 4x2 => min 
F = x1 + 5x2 => min

Задание 3. Дана матрица антагонистической игры. 
а)  Допускаются только чистые стратегии. 
Какой стратегии должен придерживаться игрок I, если он уверен, что игрок II предполагает, что игрок I придерживается максиминной стратегии?
б)  Допускаются смешанные стратегии. Найти максиминную стратегию игрока I, минимаксную стратегию игрока II и цену игры.
1;2;-1
3;1;4

Задание 4. 
а) Дана одноканальная СМО. Время обслуживания есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону с параметром m=8 заявок в час. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью l=3 заявок в час.  
Допускается неограниченная очередь. Найти:
- среднее время пребывания заявки в системе,
- среднее время пребывания заявки в очереди,
- среднее число заявок в системе,
- среднее число заявок в очереди,
- * среднее квадратическое отклонение длины очереди.
Значения m и l берутся из второго и третьего столбцов таблицы.

б) Дана двухканальная СМО. Время обслуживания есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону с параметром m=3 заявок в час. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью l=6 заявок в час.  Допускаются не более трех заявок в очереди. Найти:
-  вероятность отказа,
- относительную и абсолютную пропускные способности системы,
- среднее число занятых и свободных каналов,
- среднее время пребывания заявки в системе,
- среднее время пребывания заявки в очереди,
- среднее число заявок в системе, 
- среднее число заявок в очереди,
- * среднее квадратическое отклонение длины очереди.
Значения m и l берутся из четвертого и пятого столбцов таблицы.


Задание 5. 
Дана производственная функция Кобба-Дугласа Q = A*K^a*L^b. 
Найти предельные продукты труда и капитала,  а также предельную норму технического замещения капитала трудом при K = K0, L = L0.
Дана также функция издержек TC = rK + wL.
а) Решить задачу  минимизации издержек при Q = Q0,
б) Цена единицы товара равна P. Решить задачу  максимизации прибыли. 
в) При каком отношении дополнительных вложений капитала к дополнительным вложениям труда прибыль увеличивается быстрее всего в момент времени K = K0, L = L0.