Множество Парето

Множество Парето содержит точки третьего класса, каждую из которых можно переместить во множестве М лишь при условии уменьшения хотя бы одной из координат.
С помощью калькулятора среди исходных точек выделяются точки третьего класса, из которых формируется множество Парето.
Количество точек

Операция называется оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы ее доминировали. Соответственно, решение x ∈ Q называется оптимальным по Парето, если не существует решений, которые бы его доминировали.
В случае, если количество Парето-оптимальных решений больше одного, то для определения лучшего решения можно применить:

Применение множества Парето в задачах оптимизации

Считается, что наилучшие решения многокритериальной задачи следует искать именно среди множества Парето. Поэтому построение множества Парето нередко считают первым необходимым шагом в решении любой многокритериальной задачи.
  1. Биматричные игры.
  2. Метод последовательных уступок.
  3. Метод идеальной точки.
  4. Анализ доходности и риска финансовых операций.

Примеры

Пример №1

Пример. Необходимо отобрать в множество Парето микросхемы ПЗУ из 10 штук. ПЗУ характеризуются емкостью и быстродействием. На графике наши объекты расположатся следующим образом:
Быстродействие Емкость 5 7 1 8 2 6 10 9 3 4

Решение. Характеристики ПЗУ Быстродействие и Емкость максимизируются, т.е. чем выше их значение, тем лучше ПЗУ. Рассмотрим ПЗУ5 и ПЗУ1. ПЗУ1 лучше ПЗУ5 по емкости, поэтому ПЗУ5 можно отбросить. Также ПЗУ6 хуже ПЗУ2 по быстродействию и, поэтому в дальнейшем рассматриваться не будет. Наиболее плохими характеристиками обладают ПЗУ7,8,9,10. Из ПЗУ1,2,3,4 нельзя выбрать наилучшее, потому что у каждого из них одна из характеристик (быстродействие или емкость) лучше чем у других, а другая хуже. Эти ПЗУ1,2,3,4 и составляют множество Парето.

Пример №2

Пусть имеется задача с двумя целевыми функциями.
X1X2X3X4X5X6X7X8
F1133217-31112214
F215215943511
Требуется найти оптимальные по Парето решения, если целевые функции требуется максимизировать.

Решение. Критерии оптимизации:
x → max, y → max
Операция №2 доминирует над №1,3,7.
Операция №5 доминирует над №7.
Операция №6 доминирует над №4,5,7.
Операция №8 доминирует над №1,5,7. Загрузка... Следовательно, операции №2,6,8, оптимальны по Парето.
Операции, оптимальные по Парето, не обязательно являются «самыми лучшими» и даже просто «хорошими» - эти операции не являются худшими.

Пример №3

Инвестор рассматривает четыре инвестиционные операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения:
E12584
p1/61/21/61/6
E223412
p1/21/61/61/6
E335810
p1/61/61/21/6
E41248
p1/21/61/61/6
Требуется определить, какие из этих операций оптимальны по Парето.

Решение. Ожидаемые эффективности и риски равны соответственно MЕ1 = 4.81, σ1 = 1.77, MЕ2 = 4.16, σ2 = 3.57, MЕ3 = 7.00, σ3 = 2.30, MЕ4 = 2.81, σ4 = 2.54. Нанесем точки (MEi; σi) на единый график (рис.). i-я операция доминирует j-ю, если точка, соответствующая i-й операции, находится на графике правее и ниже точки, соответствующей j-й операции.
Критерии оптимизации:
MЕ → max, σ → min Загрузка...
Рисунок - График «риск - доходность»
Видно, что первая операция доминирует вторую и четвертую, третья операция также доминирует вторую и четвертую. При этом первая операция не доминирует третью, а третья не доминирует первую. Первая и третья операции, таким образом, оптимальны по Парето.

ВКонтакте +7 912 459 33 67