Множество Парето
Множество Парето содержит точки третьего класса, каждую из которых можно переместить во множестве М лишь при условии уменьшения хотя бы одной из координат.В случае, если количество Парето-оптимальных решений больше одного, то для определения лучшего решения можно применить:
- взвешивающую формулу f(x,y)=2x-y, если x→max, y→min.
- метод идеальной точки
Применение множества Парето в задачах оптимизации
Считается, что наилучшие решения многокритериальной задачи следует искать именно среди множества Парето. Поэтому построение множества Парето нередко считают первым необходимым шагом в решении любой многокритериальной задачи.- Биматричные игры.
- Метод последовательных уступок.
- Метод идеальной точки.
- Анализ доходности и риска финансовых операций.
Примеры
Пример №1
Пример. Необходимо отобрать в множество Парето микросхемы ПЗУ из 10 штук. ПЗУ характеризуются емкостью и быстродействием. На графике наши объекты расположатся следующим образом:Решение. Характеристики ПЗУ Быстродействие
и Емкость
максимизируются, т.е. чем выше их значение, тем лучше ПЗУ. Рассмотрим ПЗУ5 и ПЗУ1. ПЗУ1 лучше ПЗУ5 по емкости, поэтому ПЗУ5 можно отбросить. Также ПЗУ6 хуже ПЗУ2 по быстродействию и, поэтому в дальнейшем рассматриваться не будет. Наиболее плохими характеристиками обладают ПЗУ7,8,9,10. Из ПЗУ1,2,3,4 нельзя выбрать наилучшее, потому что у каждого из них одна из характеристик (быстродействие или емкость) лучше чем у других, а другая хуже. Эти ПЗУ1,2,3,4 и составляют множество Парето.
Пример №2
Пусть имеется задача с двумя целевыми функциями.| X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 | |
| F1 | 13 | 32 | 17 | -3 | 11 | 12 | 2 | 14 |
| F2 | 1 | 5 | 2 | 15 | 9 | 43 | 5 | 11 |
Решение. Критерии оптимизации:
x → max, y → max
Операция №2 доминирует над №1,3,7.
Операция №5 доминирует над №7.
Операция №6 доминирует над №4,5,7.
Операция №8 доминирует над №1,5,7.
Операции, оптимальные по Парето, не обязательно являются «самыми лучшими» и даже просто «хорошими» - эти операции не являются худшими.
Пример №3
Инвестор рассматривает четыре инвестиционные операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения:| E1 | 2 | 5 | 8 | 4 |
| p | 1/6 | 1/2 | 1/6 | 1/6 |
| E2 | 2 | 3 | 4 | 12 |
| p | 1/2 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
| E3 | 3 | 5 | 8 | 10 |
| p | 1/6 | 1/6 | 1/2 | 1/6 |
| E4 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| p | 1/2 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Решение. Ожидаемые эффективности и риски равны соответственно MЕ1 = 4.81, σ1 = 1.77, MЕ2 = 4.16, σ2 = 3.57, MЕ3 = 7.00, σ3 = 2.30, MЕ4 = 2.81, σ4 = 2.54. Нанесем точки (MEi; σi) на единый график (рис.). i-я операция доминирует j-ю, если точка, соответствующая i-й операции, находится на графике правее и ниже точки, соответствующей j-й операции.
Критерии оптимизации:
MЕ → max, σ → min
Рисунок - График «риск - доходность»
Видно, что первая операция доминирует вторую и четвертую, третья операция также доминирует вторую и четвертую. При этом первая операция не доминирует третью, а третья не доминирует первую. Первая и третья операции, таким образом, оптимальны по Парето.