Производственная функция Кобба-Дугласа

Производственная функция Кобба-Дугласа описывает взаимосвязь валового внутреннего продукта Y с объемом производственных фондов (капитала) K и объемом занятых в производстве трудовых ресурсов L:

Y= A K^α L^β

Здесь A – коэффициент нейтрального технического прогресса, α и β – коэффициенты эластичности валового внутреннего продукта по капитальным и трудовым затратам.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для анализа производственной функции Кобба-Дугласа:

нахождение средней фондоотдачи и средней производительности труда, вычисление предельной фондоотдачи и предельной производительности труда;
расчет эластичности продукта и эластичности масштаба производства;
определение предельной нормы замещения факторов производства, построение изоклины.

Полученное решение сохраняется в файле MS Word.

Y= A K^α L^β

Здесь будет отображаться решение.

Скачать пример оформления

Свойства производственной функции

Производственная функция должна задаваться положительно определенной, дважды дифференцируемой по всем своим аргументам функцией.
Производственная функция обращается в нуль, если отсутствует хотя бы один из ресурсов x₁, x₂, ... ,x_n.
Невозможно полностью заменить один фактор производства комбинацией других факторов. Возможно лишь частичное замещение одного фактора другими в некоторой ограниченной области.
С увеличением любого из ресурсов объем производства возрастает dY/dx_i.
При увеличении любого из ресурсов предельная эффективность является убывающей функцией.
Производство должно обладать свойством масштабируемости: при одновременном увеличении всех затрат в λ раз количество произведенного продукта также должно увеличиться в λ раз.

Пример. Производственные функции, обладающие свойствами 2 – 5, называются неоклассическими.
Y = 2.248K^0.404L^0.803

Степень однородности этой производственной функции γ = 0.404 + 0.803 = 1.207. Это означает, что при увеличении капитальных и трудовых затрат в λ раз объем производства увеличится в λ^1.207 раз, что характерно для развивающейся экономики.
Средняя фондоотдача AY_K равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:

Средняя производительность труда AY_L равна отношению произведенного продукта к величине затраченного труда L:

Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала K:

Предельную производительность труда, или предельный продукт труда, MY_L определим как частную производную продукта Y по величине затраченного труда L:

Эластичность продукта по фактору.
Коэффициентом эластичности продукта по i-фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i-фактора на 1%.
Эластичность по i-фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна ε_K = α = 0.404
эластичность производственной функции по труду равна ε_L = β = 0.803
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β > α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Эластичность масштаба производства.
Средним продуктом масштаба производства называется отношение продукта, полученное при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ :

AY_λ = λ^0.2072.248K^0.404L^0.803
Предельный продукт масштаба производства определяется как прирост продукции при изменении масштаба производства на единицу:

MY_λ = 0.207 λ^0.2072.248K^0.404L^0.803
Коэффициентом эластичности масштаба производства называется отношение предельного продукта масштаба к среднему продукту масштаба:

Таким образом, коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности производственной функции.
Предельная норма замещения факторов производства.
Предельную норму замещения i-фактора производства j-фактором M_ij определим соотношением:

Для нашей модели:

Норма замещения фондов трудовыми ресурсами в явном виде: RST_K,L = L / K

Норма замещения трудовых ресурсов производственными фондами в явном виде: RST_L,K = K / L

Назовем изоклиной множество точек области определения производственной функции, для которых предельная норма замещения i-го фактора производства j-м постоянна.
Для наших данных получаем искомое уравнение семейства изоклин:
K = 1.988M_LK • L
Как и следовало ожидать, семейство изоклин является семейством прямых линий, выходящих из начала координат. Каждому значению предельной нормы замещения труда капиталом соответствует своя линия.

На рис. изображены две изоклины семейства для значений M_LK = 5 и M_LK = 2.

Рис. Изокванты и изоклины для производственной функции Y = 2.248K^0.404L^0.803
Приведенный рисунок наглядно показывает, что движение вдоль линии изокванты возможно лишь при изменении технологии производства, которая сопровождается изменением фондовооруженности занятых в производстве.

Скачать в Word

Показатели эффективности производства на примере производственной функции Кобба–Дугласа

Производственные функции для реальных производственных систем оцениваются с помощью статистических методов обработки эмпирических данных. В дальнейшем будем считать, что для рассматриваемой экономической системы определён частный случай производственной функции – производственная функция Кобба – Дугласа, которая имеет вид

Y = C K^αL^1-α, (1)

где Y – произведённый продукт;
С – масштабный множитель;
К – затраты капитала;
L – затраты труда;
α – коэффициент эластичности выпуска по капиталу (0<α<1);
(1 –α) – эластичность выпуска по труду.
Рассмотрим основные показатели эффективности производства на примере производственной функции Кобба – Дугласа (1).
Введём понятие средней фондоотдачи Ay_k, как отношение произведённого продукта к величине затраченного капитала:

Ay_k= Y/K (2)

или (для производственной функции Кобба – Дугласа):

Ay_k= C (L/K)^1-α. (3)

Аналогично определим среднюю производительность труда:

Ay_l= Y/L = C (K/L)^α. (4)

Средняя фондоотдача это средний продукт капитала, который равен среднему количеству произведенного продукта единицей капитала, а средняя производительность труда это средний продукт труда, равный среднему количеству произведённого продукта единицей труда.
По аналогии предельный продукт капитала или предельная фондоотдача и предельный продукт труда или предельная производительность труда определяются как частные производные выпуска соответственно по капиталу и труду:

Мy_k= ∂Y/∂K = αC K^α-1L^1-α = αC (L/K)^1-α (5)

Мy_l= ∂Y/∂L = (1–α)C K^αL^-α = (1–α) C (K/L)^α. (6)

Из (2) и (4) следует, что

Мy_k= αAy_k, (7)

Мy_l= (1–α) Ay_l. (8)

Предельный продукт фактора это дополнительный продукт, произведенный системой при затратах дополнительной единицы соответствующего фактора.
С учётом 0 <α< 1 видим, что предельный продукт всегда меньше среднего (закон убывающей эффективности факторов).
Как известно, эластичность выпуска по фактору определяет изменение производимого продукта, выраженное в процентах, при изменении затрат фактора на 1%. Эластичность выпуска по капиталу и труду определяется как отношение соответствующих предельных продуктов к средним продуктам (см. (7) и (8)):

α= Мy_k/ Ay_k, 1-α= Мy_l/ Ay_l. (9)

Введение коэффициентов эластичностей по факторам производства позволяет вычислить изменения выпуска производимого продукта и при одновременном изменении объёмов затрачиваемых факторов. Достигается это с помощью разложения производственной функции в ряд Тейлора (ограничиваясь только линейным приближением):
f(K+ΔK,L+ΔL) ≈f +

ΔK +

ΔL = Y + Мy_kΔK + Мy_lΔL,
причём значения производственной функции и предельных эффективностей в правой части равенства вычисляются в точке (K,L). Выражая предельные эффективности факторов через их средние эффективности и коэффициенты эластичности, получим

Y(K+ΔK,L+ΔL) ≈Y + α(Y/K)ΔK + (1–α) (Y/L)ΔL. (10)

Пример.
Пусть производственная система характеризуется производственной функцией Кобба – Дугласа (1). За период времени системой было произведено 100 единиц продукции при затратах 20 единиц труда и 40 единиц капитала. Известно, что α= 0,75.
1. Записать производственную функцию Кобба – Дугласа.
2. Сколько единиц продукта будет произведено системой при затратах 25 единиц труда и 50 единиц капитала?
3. Определить для данной производственной системы средние продукты труда и капитала, используя формулы (2), (3) и (4).
4. Определить предельные продукты труда и капитала, используя формулы (5) и (6). Прокомментировать результаты расчётов.
5. Проверить вычислениями точность равенства (10).

Решение.
1. Подставим в (1) исходные данные: 100 = С*40^0.75*20^0.25. После вычислений получим: 100 = С*33,64 или С = 100/33,64 = 2,973. Окончательно имеем: Y = 2,973 K^0,75L^0,25.
2. Подставим в полученное выражение для производственной функции новые данные: Y = 2,973*50^0,75*25^0,25= 125. Таким образом, системой при новых данных будет произведено 125 единиц продукта.
3. Подсчитаем средние продукты факторов, используя формулы (2), (3) и (4). Из (2) следует, что Ay_k= 100/40 = 2,5. Из (3) следует Ay_k= 2,973* (20/40)^0,25= 2,5.
Из левого выражения (4) следует, что Ay_l= 100/20 = 5. Правая часть этого выражения даёт: Ay_l= 2,973*(40/20)^0,75= 5.
Как видим, проверяемые равенства выполняются точно, если при вычислениях не производить округления.
4. Рассчитаем предельный продукт капитала: Мy_k= αC (L/K)^1-α= 0,75*2,973*(20/40)^0,25= 1,875. Получили, что действительно, Мy_k=αAy_k(Мy_k= 0,75*2,5 = 1,875).
Аналогично предельный продукт труда. Мy_l= (1–α) C (K/L)α= 0,25*2,973*2^0,75= 1,25 или Мy_l=(1-α) Ay_l= 0,25*5 = 1,25.
Сравнивая средние и предельные продукты факторов, видим, что действительно, предельные продукты меньше средних, подтверждая тем самым закон убывающей эффективности факторов.
Средний продукт капитала, равный 2,5 означает, что в исследуемой экономической системе на единицу основных фондов приходится в среднем 2,5 единиц выпускаемого продукта, а предельный продукт капитала, равный 1,875, означает, что в исследуемой экономической системе на единицу прироста основных фондов приходится в среднем 1,875 единиц прироста выпуска продукта. Аналогично и по продукту труда.
5. Пусть левая часть выражения (10) – это выпуск продукта, подсчитанный в п. 2. Тогда ΔK = 10, а ΔL = 5. Подсчитаем правую часть выражения (10).
Y + α(Y/K)ΔK + (1-α) (Y/L)ΔL = 100 + 0,75*(100/40)*10 + 0,25* (100/20)*5 = 125. Как видим, равенство выполнено точно.

Производственная функция Кобба-Дугласа

Свойства производственной функции

Показатели эффективности производства на примере производственной функции Кобба–Дугласа

Авторизация

Поиск

Сообщение

Условия предоставления оформления отчета в Word

Сообщение

Правила ввода данных