Микро-и макроэкономика / Оптимальный потребительский набор

Общая полезность

Общая полезность - удовлетворение, которое получают от потребления определенного набора товара или услуги.

Предельная полезность - это прирост общей полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на единицу.

Mu = (Tu₁ - Tu₀)/(Q₁ - Q₀)

Производная по количеству Q

Mu = dTu/dQ Как найти производную.

Например, TU = x*y. Mu_x = d(x*y)/dx = y; Mu_y = d(x*y)/dy = x
Например, TU = 10x² + 2x + 2. Mu_x = d(10x² + 2x + 2)/dx = 20x + 2

Функция полезности - функция, показывающая убывание полезности блага с ростом его количества:

Tu = f(Q_i)

Условия равновесия потребителя

Условия равновесия потребителя можно выразить формулой:Mu_x / Mu_y = P_x / P_yгде P_x и P_y - цены на товары X и Y.

Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает равновесие потребителя.

Пример задачи на нахождение оптимального набора покупок при заданной общей полезности.

Пример задачи на нахождение оптимального набора товаров при заданной функции полезности.

Кривая безразличия

Кривая безразличия - это множество точек на кривой, которые показывают различные комбинации двух экономических благ, имеющих одинаковую полезность для потребителя.

Предельная норма замещения (marginal rate of substitution - MRS) - количество, на которое потребление одного из двух благ должно быть увеличено (или уменьшено), чтобы полностью компенсировать потребителю уменьшение (или увеличение) потребления другого блага на одну дополнительную единицу:

MRS_xy = ΔY / ΔXΔY = Y₁ - Y₀ΔX = X₁ - X₀илиMRS_xy = Mu_x / Mu_y

Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.

Бюджетная линия

Бюджетная линия представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном, графически отображающую множество наборов из двух товаров, требующих одинаковых затрат на их потребление. Она показывает, какие потребительские наборы можно приобрести за данную сумму денег.I = P_xX + P_yYгде I - доход потребителя;
P_x - цена блага Х;
P_y - цена блага Y;
X,Y - составляют соответственно купленные количества благ. Бюджетная линия

Y = -P_x/P_yX + I/P_y
где -P_x/P_y - угол наклона прямой к оси абсцисс.

Ввод данных
Решение

Местоположение точек потребительского равновесия на бюджетных линиях

На рисунке представлены две кривые безразличия покупателя, покупающего шоколад и сыр, а также прежняя бюджетная линия АВ и новая АС. Точки М и N - точки потребительского равновесия при денежном доходе равном 120 руб. Местоположение точек потребительского равновесия на бюджетных линиях

а) найти цену шоколадки и цену сыра;
б) объяснить, чем обусловлен сдвиг бюджетной линии АВ в положение АС;
в) найти угол наклона бюджетной линии АВ и АС;
г) объяснить, чем обусловлено местоположение точек потребительского равновесия на бюджетных линиях.|а) цена шоколадки:

P_{шоколад} = I / Q_{шоколад} = 120 / 10 = 12цена сыра:P_сыр = I / Q_сыр = 120/20 = 6

б) P_сыр = I / Q_сыр(AC) = 120/12 = 10
Сдвиг обусловлен повышением цены на сыр.

в) Угол наклона АС
Уравнение бюджтеной линии

I = P_xX + P_yYвыразим Y
Y = I - P_x / P_y X
k = P_x / P_y - угол наклонаk_АС = P_сыр/P_{шоколад} = 10/12 = 0,83

Угол наклона АB

k_АB = P_сыр/P_{шоколад} = 6/12 =0,5

г) Местоположение точек потребительского равновесия на бюджетных линиях обусловлено равновесие потребителя (оптимальное сочетание двух товаров - шоколада и сыра) при фиксированном бюджете средств.

Пример решения определения оптимума потребителя

Пример №1. Функция полезности U(xy)=xy. Доход потребителя равен 80 ден. ед. Цены товаров x и y соответственно равны P_x=2 руб. и P_y=4 руб. Найдите равновесный набор.
Решение: Из условия равновесия потребителя: Mu_x / Mu_y = P_x / P_y получаем: Mu_x = d(x*y)/dx = y; Mu_y = d(x*y)/dy = x
Тогда: y / x = 2 / 4 = ¹/₂ или y = ¹/₂x
Для наших данных уравнение бюджетной линии запишем как: 80 = 2x + 4y = 2x + 4*¹/₂x = 4x
Откуда: x = 20 ед., y = ¹/₂*20 = 10 ед.
Ответ: потребитель приобретет 20 ед. товара x и 10 ед. товара y.

Пример №2. Потребитель тратит 600 рублей в месяц на приобретение двух товаров. Цена товара Х - 20 рублей, а товара Y - 10 рублей. Задана функция полезности потребителя U = ХY. Составить уравнение бюджетной линии. Найти предельную норму замещения. Определить оптимум потребителя. Представить графически. Если цена товара Х уменьшится на 5 руб., на сколько единиц изменится объем спроса данного товара всего?|Уравнение бюджетной линии:

I = P_xX + P_yY 600 = 20X + 10Y

Предельная полезность товаров:

Mu_x = dU/dx = d(xy)/dx = yMu_y = dU/dy = d(xy)/dy = x

Оптимум потребителя достигается при равенстве:

Mu_x / Mu_y = P_x / P_yMu_x / Mu_y = 20 / 10 = 2

Предельная норма замещения

MRS_xy = Mu_x / Mu_y = 2

Выразим y через x.

Mu_x / Mu_y = y / x = 2y = 2x

Подставим в уравнение бюджетной линии:

600 = 20x + 10*2x = 20x + 20xоткуда X = 15; Y = 2x = 30

Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.

Проверка: 20 х 15 + 10 х 30 = 300 + 300 = 600.

При уменьшении цены товара X на 5 руб.
P_x = 20 - 5 = 15
Найдем новый оптимум потребителя.

600 = 15X + 10Y = 15X + 20X = 35Xоткуда x = 17.14; y = 2x = 34.29
Спрос на товар Х увеличился на 2.14 (17.14 - 15)

Проверка: 15 х 17.14 + 10 х 34.29 = 257.1 + 342.9 = 600.

Пример выбора рациональных покупок

Сделайте наиболее рациональные покупки, если есть три товара А,В,С, руководствуясь возможностью потратить 23 000 рублей.

Количество единиц	1	2	3	4	5
Общая полезность (А)	5000	6200	7300	8200	9000
Общая полезность (В)	3000	5500	7900	10000	12000
Общая полезность (С)	2500	4000	5300	6400	7000

Цены: Р(А) = 1500 руб.; Р(В) = 4000 руб.; Р(С) = 1000 руб.

Уравнение бюджетной линии

I = P_А*А + P_В*В + P_С*С

Потребитель выбирает максимум полезности из условия:

Mu_A / P_A = Mu_B / P_B = Mu_C / P_C

Предельная полезность MU определяется по формуле:

Mu = (Tu₁ - Tu₀)/(Q₁ - Q₀)

Количество единиц	1	2	3	4	5
Общая полезность (А)	5000	6200	7300	8200	9000
Общая полезность (В)	3000	5500	7900	10000	12000
Общая полезность (С)	2500	4000	5300	6400	7000
MU(A)	-	1200	1100	900	800
MU(B)	-	2500	2400	2100	2000
MU(C)	-	1500	1300	1100	600
MU(A)/ P(A)	-	0,80	0,73	0,60	0,53
MU(B) /P(B)	-	0,63	0,60	0,53	0,50
MU(C) /P(C)	-	1,50	1,30	1,10	0,60

Из таблицы выбираем оптимальный объем для товаров (MU = 0,6)

A = 4; B = 3; C = 5.

Проверка:

I = 1500*4 + 4000*3 + 1000*5 = 23000

Утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу

Определить утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу, если функции полезности агентов равны u₁ = х₁ + 3, u₂= 3х₂ - 2 при х₁ + x₂ = 3 . Проверить независимость от масштаба для указанных ПКБ, если функция полезности первого агента была уменьшена в три раза.

Решение. Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие u₁ = u₂ или x₁ + 3 = 3x₂ - 2. Учитывая, что x₂ = 3- x₁, получаем x₂ = 2, тогда x₁ = 1. Вектор полезностей (4,4).

Утилитарное решение находим, максимизируя сумму полезностей агентов: x₁ + 3 + 3x₂ - 2 → max, подставив x₁ вместо x₂, получаем 4x₂ + 1 → max. Рассматриваемая функция возрастает от x₁ и достигает своего максимума при x₁ = 3, тогда x₂ = 0. Здесь вектор полезностей (1,1).

Независимость от масштаба

Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие u₁ = u₂ или x₁/3 + 1 = 3x₂ - 2. Учитывая, что x₂ = 3- x₁, получаем 10/3 x₁ - 6 = 0, тогда x₁ = 9/5, то x₂ = 6/5. Вектор полезностей (8/5,8/5).

Множество допустимых распределений пары продуктов на неотрицательные количества определяется так:x₁,x₂ 0, x₁ + x₁ = a, x₂ = b.

Максимизируя ФКП Нэша, мы выбираем эффективное распределение. Оптимальное распределение определяется как решение задачи: