Средние индексы

• общий индекс затрат на производство продукции (общий индекс товарооборота, общий индекс урожая и т.п.), общий индекс себестоимости продукции (общий индекс цен), общий индекс физического объема (индекс, отражающий динамику товарооборота в сопоставимых ценах) (см. пример решения);
• индексы Пааше и Ласпейреса
• мультипликативная и аддитивная индексные двухфакторные модели.
• индекс переменного состава, индекс постоянного состава, индекс структурных сдвигов.
• мультипликативная и аддитивная индексные двухфакторные модели среднего показателя (например, среднедушевого товарооборота, среднего товарооборота, средней фондоотдачи или средней рентабельности).

• Ввод данных
• Решение
• Видеоинструкция
• Оформление Word

В статистике под индексом понимается относительная величина, характеризующая соотношение значений определенного показателя во времени, пространстве, по сравнению с планом или другим нормативным показателем.

С помощью индексного метода в статистике решаются следующие основные задачи:

• характеристика общего изменения сложного экономического показателя и отдельных его элементов;
• измерение влияния факторов на общую динамику сложного показателя, включая характеристику влияния изменения структуры явления.

Общие индексы могут быть исчислены не только как агрегатные, но и как средние из индивидуальных или групповых. Сводный индекс товарооборота (общий индекс товарооборота):

Сводный индекс цен (общий индекс цен):

Сводный индекс физического объема реализации (общий индекс физического объема реализации):

Общий индекс товарооборота (по колхозному рынку №1)

За счет всех факторов общий товарооборот увеличился на 9%. Общий товарооборот увеличился на ∆Т = 152- 140 = 12 руб.

Общий индекс цен (по колхозному рынку №1)

Общий индекс физического объема производства (по колхозному рынку №1)

Покажем взаимосвязь индексов I_pq = I_pI_q = 1,08*1,01 = 1,09

Пример №1. Товарооборот магазина в отчетном периоде составил 4426 тыс. рублей, цены увеличились на 20%. Определить индекс цен.
Решение. Здесь индекс цен равен (100+20)/100 = 1.2

Пример №2. Как изменится физический объём реализации товаров предприятиями розничной торговли в текущем периоде по сравнению с предыдущим, если товарооборот возрос на 9,5%, а цены повысились на 2,1%.
Решение. Индекс товарооборота: I = iq*ip
I = (100+9,5)/100 = 1,095
ip = (100+2,1)/100 = 1,021
Откуда iq = I/ip = 1,095/1,021 = 1.72 или 7.2%.

Сводный индекс себестоимости:

Числитель этого индекса отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель - условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числителя и знаменателя показывает сумму экономии (перерасхода) предприятия от изменения себестоимости:

Индекс физического объема продукции:

Индекс затрат на производство:

Индексный метод также находит применение в статистике сельского хозяйства: индекс валового сбора сельскохозяйственных культур (I_rs) может быть получен через индекс урожайности (I_r) и индекс посевных площадей (I_s).

Средний гармонический индекс

Сводный индекс физического объема товарооборота в форме средней гармонической:

Индекс цен

За счет изменения всех факторов цена увеличилась на 7,3%

Индекс цен постоянного состава (Индекс цен фиксированного состава)

За счет изменения структуры цены средняя цена увеличилась на 8%. Если бы структура реализации товара по рынкам не изменилась, средняя цена возросла бы на 8%.

Индекс структурных сдвигов

или I_с.с. = I_п.с./I_ф.с. I_с.с. = 1,073/1,08 =0,995

За счет изменения структуры продаж средняя цена уменьшилась на 0,5%

Сводный индекс себестоимости:
Числитель этого индекса отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель - условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числителя и знаменателя показывает сумму экономии (перерасхода) предприятия от изменения себестоимости:

Индекс физического объема продукции:

Индекс затрат на производство:

Индексный метод также находит применение в статистике сельского хозяйства: индекс валового сбора сельскохозяйственных культур (I_rs) может быть получен через индекс урожайности (I_r) и индекс посевных площадей (I_s).

Средний гармонический индекс

Индекс себестоимости

За счет изменения всех факторов себестоимость увеличилась на 7,3%

Индекс себестоимости постоянного состава (Индекс цен фиксированного состава)

За счет изменения структуры цены средняя себестоимость увеличилась на 8%. Если быструктура реализации товара по рынкам не изменилась, средняя себестоимость возросла бы на 8%.

Индекс структурных сдвигов

или I_с.с. = I_п.с./I_ф.с. I_с.с. = 1,073/1,08 =0,995

За счет изменения структуры продаж средняя себестоимость уменьшилась на 0,5%.

Типовое задание

1. Индекс затрат рабочего времени на один гарнитур переменного и фиксированного состава.
2. Индекс структурных сдвигов.
3. Взаимосвязь рассчитанных индексов.

При изучении качественных показателей часто приходится рассматривать изменение средней величины индексируемого показателя для определенной однородной совокупности. Будучи сводной характеристикой качественного показателя, средняя величина складывается как под влиянием значений показателя у отдельных единиц совокупности, так и под влиянием соотношения их весов («структуры совокупности»).

Пример №1. Индекс переменного состава себестоимости продукции равен 1.1. Индекс фиксированного состава себестоимости продукции равен 0,95. Определите индекс структурных сдвигов себестоимости продукции, сделайте выводы.
Решение.
Ic.c = Iп.с./Iф.с. = 1,1/0,95 = 1,158
За счет изменения структуры себестоимости продукции, средняя себестоимости продукции выросла на 15,8%.

Пример №2. Имеются следующие данные о затратах на продукцию и прибыли предприятия за два периода, млн. руб.

Решение.
а) индекс рентабельности переменного состава
Рассчитаем средние рентабельности за каждый период:
Средняя рентабельность за отчетный период


Средняя рентабельность за базисный период


Соответственно, индекс рентабельностей переменного состава (индекс средних величин) будет представлять собой отношение:

За счет всех факторов рентабельность возросла на 46.55%.
б) индекс рентабельности фиксированного (постоянного) состава


За счет изменения структуры рентабельности средняя рентабельность возросла на 58.55%
в) индекс влияния изменения структуры прибыли на динамику средней рентабельности.


Сравнивая формулы, полученные для расчета вышеуказанных индексов, нетрудно заметить, что индекс структурных сдвигов равен отношению индекса переменного состава и индекса фиксированного состава, т.е.:


За счет изменения структуры затрат средняя рентабельность снизилась на 7.56%
Рассмотрим разложение по факторам абсолютного изменения качественного показателя в однородной совокупности.
Абсолютный прирост средних рентабельностей по всем группам будет рассчитываться следующим образом:

Изменение средней рентабельности по всем группам только за счет изменения средней рентабельности по отдельным группам будет рассчитываться по формуле:


Аналогичные рассуждения проводятся и для расчета изменения средней рентабельности по всем группам только за счет изменения структуры затрат:


Очевидно, что общий абсолютный прирост средних рентабельностей по всем группам равен сумме факторных изменений:

Пример №3. Имеются следующие данные по предприятию:

Пример №1. По данным своего варианта определите:
1) Общие индексы:

• цен,
• физического объема проданных товаров,
• выручки от реализации товаров.

Пример №2. Среднесписочная численность рабочих строительной организации составила в отчетном периоде - 130 чел., а в базисном - 136 чел. Темп прироста производительности труда за этот период - 14,5%. Определить объем прироста объема СМР за счет изменения численности рабочих и производительности их труда ( в условных единицах базисной производительности труда).
Решение:
Индексная модель СМР имеет вид: I = i_q i_p
где i_q – индекс численности рабочих, i_p – индекс производительности труда.
i_q = 130/136 = 0.956
i_p = (100%-14,5%)/100 = 0,855
Таким образом, объем СМР в отчетном году составил 0,817 (0.956*0,855), или 18,3%, в том числе за счет численности рабочих снизился на 4,6% и производительности их труда снизился на 14,5%.

Задача 65. Имеются данные о ценах и объеме поставок продовольственных товаров:

3) общие индексы поставок продовольственных и непродовольственных товаров вместе взятых в действующих и сопоставимых ценах и индекс цен;

Примеры решений на тему "Общие индексы"

а) общий индекс совокупных затрат




За счет всех факторов общие затраты снизился на 5% или на 1035 тыс.руб.

б) общий индекс себестоимости




За счет изменения себестоимости сводные затраты снизились на 1.4% или на 285 тыс.руб.

в) общий индекс физического объема продукции




За счет изменения объема выработанной продукции, совокупные затраты снизились на 3.6% или на 750 тыс.руб.
Покажем взаимосвязь индексов: I = Iq ∙ Ip = 0.9639 ∙ 0.9858 = 0.9502

Общий индекс динамики

Задача 1. Туристической фирмой продано путевок

Решение

Абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен

Задание. Определить индекс цен и абсолютное изменение товарооборота за счет изменения цен, а также индекс стоимостного объема товара и абсолютное изменение стоимостного объема товара, используя данные, приведенные в таблице.

Решение:
а) общий индекс товарооборота


∆Z = ∑q₁ ∙ p₁ - ∑q₀ ∙ p₀
∆Z = 51630 - 37260 = 14370 руб.
За счет всех факторов общий товарооборот увеличился на 38.57% или на 14370 руб.
б) общий индекс цен (метод Пааше)


∆Z _p = ∑q₁ ∙ p₁ - ∑q₁ ∙ p₀
∆Z _p = 51630 - 41800 = 9830 руб.
За счет изменения цен сводный товарооборот возросли на 23.52% или на 9830 руб.
в) общий индекс физического объема продукции (индекс Ласпейреса)


∆Z _q = ∑q₁ ∙ p₀ - ∑q₀ ∙ p₀
∆Z _q = 41800 - 37260 = 4540 руб.
За счет изменения объема выработанной продукции, товарооборот возросли на 12.18% или на 4540 руб.
Покажем взаимосвязь индексов :
= 1.1218 ∙ 1.2352 = 1.3857

Общий индекс физического объема продукции

Общий индекс себестоимости

Индекс средней цены

1. индекс средней цены (индекс цен переменного состава);
2. индекс цен в неизменной структуре продажи (индекс цен постоянного состава);
3. индекс структурных сдвигов в объеме продажи.

Задача 45. Выпуск одноименной продукции и ее себестоимость по двум предприятиям за два периода:

1. индекс средней себестоимости (индекс переменного состава);
2. индекс себестоимости в неизменной структуре производства (индекс постоянного состава);
3. индекс структурных сдвигов в производстве продукции.

Решение.
а) индекс себестоимости переменного состава
Рассчитаем средние себестоимости на Выпуск продукции:
Средняя себестоимость за отчетный период

Средняя себестоимость за базисный период

Из этих формул следует, что средняя себестоимость по всем группам зависит от средней себестоимости на Выпуск продукции по отдельным группам и доли физического объема выработки продукции в каждой из этих групп.
Таким образом, можно сказать, что средняя себестоимость на Выпуск продукции по всем группам равна сумме произведений средней себестоимости по группам (качественный показатель) на долю в физическом объеме соответствующей группы (количественный показатель).
Доля в количественном объеме товара в данном примере определяет структуру объема продукции.


Соответственно, индекс себестоимости переменного состава (индекс средних величин) будет представлять собой отношение:

За счет всех факторов себестоимость возросла на 16.88%
По аналогии с построением факторных агрегатных индексов построим факторные индексы.
б) индекс себестоимости фиксированного (постоянного) состава
Чтобы определить влияние только средней себестоимости по разным группам товара на изменение средней себестоимости по всей совокупности в формуле индекса себестоимости переменного состава необходимо устранить влияние изменения структуры физического объема.
Это достигается путем фиксирования значения доли (количественный показатель) на отчетном уровне. Получаемый индекс называется индексом фиксированного (постоянного) состава и рассчитывается по формуле:


За счет изменения структуры себестоимости средняя себестоимость возросла на 17.11%
в) индекс влияния изменения структуры производства продукции на динамику средней себестоимости


Сравнивая формулы, полученные для расчета вышеуказанных индексов, нетрудно заметить, что индекс структурных сдвигов равен отношению индекса переменного состава и индекса фиксированного состава, т.е.:


За счет изменения структуры выработанной продукции средняя себестоимость снизилась на 0.19%
Кроме этих трех индексов для однородной совокупности может быть рассчитан общий индекс физического объема:


Общий индекс стоимости равен:
I_Q = I_п.c. x I_q = 1.169 x 0.885 = 1.035

Индексы цен постоянного состава

1. Индексы цен: переменного и постоянного состава.
2. Индекс влияния структурных сдвигов.
3. Прирост средней цены в абсолютных величинах – общий и за счёт действия отдельных факторов.

Индексы в однородной совокупности

• индекс переменного состава (индекс средних величин);
• индекс фиксированного состава;
• индекс структурных сдвигов.

долл. США

долл. США

долл. США

Индекс структурных сдвигов

Пример №2

1. Индексы цен: переменного и постоянного состава.
2. Индекс структурных сдвигов.
3. Изменение средней цены (в абсолютных величинах) в марте по сравнению с декабрём: общее и за счёт действия отдельных факторов.

Решение:
а) индекс цен переменного состава
Рассчитаем средние цены на рис:
Средняя цена за отчетный период

Средняя цена за базисный период

Из этих формул следует, что средняя цена на рис по всем продавцам зависит от средней цены на рис по отдельным продавцам и доли продаж физического объема риса в каждой из групп.
Таким образом, можно сказать, что средняя цена на рис по всем продавцам равна сумме произведений средней цены (качественный показатель) на долю в физическом объеме соответствующей группы (количественный показатель).
Доля в количественном объеме товара в данном примере определяет структуру объема продукции.